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泛函分析教程（第二版）
作者：
 童裕孙 编著
定价：
29.00元
页数：
303页
ISBN：
978-7-309-03765-4/O.314
字数：
370千字
开本：
16 开
装帧：
平装
出版日期：
2008年2月 　　　　　　
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内容提要

      
       本书是研究生泛函分析教材.全书共7章，以概述线性泛函分析的基本理论为入口，分别介绍了Banach空间上紧算子和Fredˉholm算子、Banach代数、C ˇ 代数初步和H ilbert空间上正规算子的谱分析、无界算子、算子半群、无限维空间上的微分学、拓扑度理论等.本书既注意以现代数学的观点统率各章节内容，突出泛函分析中重要的基本理论，也精选了在应用中受到普遍关注的若干题材，同时还配备了一定数量的难易不等的习题，以利读者加深理解，启发思考.
       本书可作为基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计等数学类各专业方向的研究生学位课教材，也可供理工类相关专业的研究生以及自然科学工作者、工程技术人员参考使用.
      

作者简介

书摘

       第二版前言
       本书第一版问世至今，4个年头已过去了.在此期间，承蒙读者厚爱，作者获得了不少有关本书的信息反馈.其中既有粗线条的对全书风格的总体评议，也有细致入微的关于某些章节处理方法的探讨商酌.这些意见和建议对作者启发颇大.同时期，作者以此书为蓝本，又先后为几届研究生讲授泛函分析.教学相长，在使用过程中对全书的修订形成了明确的思路.
       本书的整体框架由两部分组成:前3章和第四章第一节的内容适用于基础泛函分析的教学，其余部分则可根据各数学分支应用的需要作为选修的材料.教学实践表明以这两个部分各对应于一学期每周3学时的教学，大致是合理妥当的.修订后的第二版并不改变原教材的编写宗旨、结构框架和主要内容，因为原书的特色正是通过它们体现出来的.只是第一版由于编写时间拖得较长，以致前后不尽协调，个别概念重复出现，部分材料稍嫌粗糙，忽略了几个知识点，还有若干内容缺少深入的分析与实例.感谢出版社为本书提供了再版的机会，使我得以比较从容地对全书材料作统一的疏理.在修订过程中，作者补充了一些基本概念，如Banach空间的Schauder基，算子的本质谱等，使相关内容更系统、更完整;增加了一些具体例子，如作为无界自伴算子的乘法算子，Urysohn算子的全连续性等，使抽象概念更直观、更充实;同时，还改善了若干证明，使逻辑推理更简洁、更严密;此外，还调整了一些习题，使训练更有针对性.修订的笔墨散见于全书，其目的是使这本教材更适于教、便于学，有利于实际教学过程，有效地提升原书的质量.作者深知一本成熟的教材须久经锤炼，因而仍然殷切地期望同行和同学们一如既往，不吝指正，以期通过共同努力，从教材建设着手，进一步提高研究生基础课的教学水平.
      
       童裕孙
       2007年12月
      
      
      
       目录
      
       第一章 线性泛函分析基础
      
       §１．１拓扑空间
       １．１．１拓扑空间的概念
       １．１．２网
       １．１．３连续映射
       １．１．４距离空间
       １．１．５距离空间的完备性
      
       §１．２拓扑线性空间
       １．２．１拓扑线性空间的概念
       １．２．２赋准范线性空间
       １．２．３赋范线性空间
       １．２．４内积空间
       １．２．5一致凸空间和严格凸空间
      
       §１．３紧性
       １．３．１紧集的概念
       １．３．２紧集上的连续映射
       １．３．３Zorn引理
       １．３．４紧空间的乘积空间
       １．３．５StoneWeierstrass定理
       １．３．６距离空间中的列紧集与完全有界集
       １．３．７有限维赋范线性空间的特征
       １．３．８BanachAlaoglu定理
       １．３．９Hilbert空间单位球的弱紧性
      
       §１．４Hahn-Banach定理及其几何形式
       １．４．１线性空间上线性泛函的延拓
       １．４．２赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
       １．４．３自反空间
       １．４．４连续线性泛函保范延拓的唯一性
       １．４．５凸集的分离性
       １．４．６端点、Krein-Milman定理
      
       §１．５线性算子基本定理
       １．５．１开映射定理
       １．５．２逆算子定理和范数等价定理
       １．５．３闭图像定理
       １．５．４共鸣定理
       １．５．５应用
       １．５．６Schauder基
       １．５．７点列的收敛性
       １．５．８泛函序列和算子序列的收敛性
      
       习题
      
       第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子
      
       §２．１Banach代数中元素的谱
       ２．１．１代数和理想
       ２．１．２赋范代数
       ２．１．３Banach代数中元素的谱
      
       §２．２线性算子的谱
       ２．２．１线性算子谱的概念
       ２．２．２线性算子谱的分类
       ２．２．３近似谱点
       ２．２．４共轭算子及共轭算子的谱
      
       §２．３紧算子
       ２．３．１有限秩算子
       ２．３．２紧算子的概念
       ２．３．３紧算子的Riesz-Schauder理论
       ２．３．４Banach空间的直和分解
       ２．３．５紧算子的Riesz-Schauder理论（续）
      
       §２．４Fredholm算子
       ２．４．１Fredholm算子的概念
       ２．４．２Fredholm算子的性质
      
       习题
      
       第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规算子
      
       §３．１Banach代数的Gelfand表示
       ３．１．１可乘线性泛函
       ３．１．２Gelfand表示
       ３．１．３极大理想空间
      
       §３．２C*代数
       ３．２．１C*代数的概念
       ３．２．２C*代数中的正规元
       ３．２．３GelfandNaimark定理
       ３．２．４ＧＮＳ构造
      
       §３．３谱测度和谱积分
       ３．３．１投影算子
       ３．３．２谱测度与谱积分
       ３．３．３谱系
      
       §３．４Hilbert空间上正规算子的谱分解
       ３．４．１谱定理与函数演算
       ３．４．２函数演算的扩充
       ３．４．３正规算子的谱分解定理
       ３．４．４正规算子的谱
       ３．４．５Ｈilbert空间上紧算子的结构
       ３．４．６正规算子的本质谱
       ３．４．７von Neumann代数
      
       习题
      
       第四章 无界算子
      
       §４．１对称算子和自伴算子
       ４．１．１稠定算子的共轭算子
       ４．１．２对称算子与自伴算子的概念
       ４．１．３算子的图像
       ４．１．４对称算子为自伴算子的条件
       ４．１．５自伴算子的谱
       ４．１．６Cayley变换
       ４．１．７无界函数的谱积分
       ４．１．８自伴算子的谱分解定理
       ４．１．9L2（－∞，　＋∞）上的乘法算子
      
       §４．２对称算子的自伴扩张
       ４．２．１闭对称算子的亏指数
       ４．２．２正定双线性泛函
       ４．２．３半有界算子的Friedrichs扩张定理
      
       §４．３自伴算子的扰动
       ４．３．１可闭算子的扰动
       ４．３．２自伴算子的扰动
       ４．３．３自伴算子在扰动下的谱
      
       §４．４无界算子序列的收敛性
       ４．４．１预解意义下的收敛性
       ４．４．２图意义下的收敛性
      
       习题
      
       第五章 算子半群
      
       §５．１向量值函数
       ５．１．１向量值函数的连续性
       ５．１．２向量值函数的可导性
       ５．１．３向量值函数的Riemann积分
       ５．１．４向量值函数的可测性
       ５．１．５强可测与弱可测的关系
       ５．１．６算子值可测函数
      
       §５．２Bochner积分和Pettis积分
       ５．２．１Pettis积分
       ５．２．２Bochner积分
       ５．２．３Bochner积分的性质
      
       §５．３算子半群的概念
       ５．３．１算子半群概念的由来
       ５．３．２Ｃ０类算子半群
       ５．３．３算子半群的一些例子
      
       §５．４Ｃ０类算子半群的表示
       ５．４．１Ｃ０类算子半群无穷小母元的概念
       ５．４．２无穷小母元的预解式
       ５．４．３Ｃ０类算子半群的表示
      
       §５．５无穷小母元的特征
       ５．５．１Ｃ０类算子半群无穷小母元的特征
       ５．５．２标准型Ｃ０类算子半群母元的特征
       ５．５．３Ｃ０类压缩半群母元的特征
       ５．５．４Hilbert空间上Ｃ０类压缩半群母元的特征
      
       §５．６单参数酉算子群、 Stone定理
       ５．６．１单参数算子群的无穷小母元
       ５．６．２Stone定理
       ５．６．３Stone定理的应用：Bochner定理
      
       §５．７遍历定理
       ５．７．１相空间上的保测变换
       ５．７．２Boltzmann遍历假设
       ５．７．３不可压缩稳定流
       ５．７．４遍历定理
       ５．７．５变换群的遍历性
      
       习题
      
       第六章 无穷维空间的微分学
      
       §６．１映射的微分
       ６．１．１Gteaux微分
       ６．１．２Frèchet微分
       ６．１．３高阶导数
       ６．１．４Taylor公式
       ６．１．５幂级数
      
       §６．２隐函数定理
       ６．２．１Ｃp映射与微分同胚
       ６．２．２隐函数的存在性
       ６．２．３隐函数的可微性
      
       §６．３泛函极值
       ６．３．１线性方程的解与二次泛函的极小问题
       ６．３．２泛函极值的必要条件
       ６．３．３泛函极值的存在性：下半弱连续条件
       ６．３．４最速下降法
       ６．３．５泛函极值的存在性：Palais-Smale条件
      
       习题
      
       第七章 拓扑度
      
       §７．１Brouwer度
       ７．１．１Ｃ１类映射的拓扑度（非临界点情形）
       ７．１．２３个引理
       ７．１．３Ｃ１类映射的拓扑度（一般情形）人
       ７．１．４Brouwer度
       ７．１．５Brouwer度的性质
      
       §７．２LeraySchauder度
       ７．２．１一个例子
       ７．２．２全连续映射
       ７．２．３Leray-Schauder度的定义
       ７．２．４Leray-Schauder度的性质
      
       §７．３不动点定理及其应用
       ７．３．１Brouwer不动点定理
       ７．３．２Schauder不动点定理
       ７．３．３非紧性测度
       ７．３．４集压缩映射的不动点
       ７．３．５Kakutani不动点定理
       ７．３．６应用：代数学基本定理
       ７．３．７应用：不变子空间
       ７．３．８应用：对策论基本定理
      
       习题
      
       参考文献

书评       
　  

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