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数学分析(第二版)
作者：
 姚允龙 编著
定价：
35.00元
页数：
372页
ISBN：
978-7-309-03118-8/O.278
字数：
456千字
开本：
16 开
装帧：
平装
出版日期：
2007年9月 　　　　　　
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内容提要

       本书较为系统地综述了数学分析的基本内容、方法、技巧. 通过典型例子指出在学习、作业、考研中常见的错误及纠正的办法. 全书重点放在解题方法、技巧上，提供了一系列新颖有效的解题思路. 全书配有大量的习题、历届考研试题，书末附有答案，也介绍一些较为深入的内容.
       本书适用正在学习或已学完数学分析的大学生、自学者，也适用高等数学的学习者. 本书对任课教师及命题者和硕士研究生报考者也有一定的参考价值.

作者简介

书摘

       序 言
      
       多年前，复旦大学数学科学学院（原数学系和数学研究所）几位教师编写了一套《大学数学学习指导》丛书. 丛书出版后颇受欢迎，不久书市即告售罄. 其后，兄弟院校的同行和不少青年学子纷纷来函求购，出版社也多次与我们联系再版事宜，只是作者们长期承担着繁重的教学和科研任务，无暇顾及修订工作.近年来，随着 学科的发展，课程建设又提上了议事日程. 我院一些重要基础课的新教材陆续问世，与此同时，不少教师再次萌发了重新整理、总结在教学工作中积累起来的心得的意愿. 在复旦大学出版社的促进下，推出这套全新的丛书也时机成熟、水到渠成了.
       数学科学的发展正处于一个不平凡的时期. 科学技术的进步、实践应用的增多、计算机的影响以及数学科学自身的进展，大大拓展了数学科学的范围和领域.
       在不少场合，数学已经从科学研究的幕后，大步跨上了技术应用的前台，成为打开众多机会大门的钥匙. 这就导致社会对其成员数学能力要求的指标不断提高，期望涌现出更多的数学基础扎实、创新能力较强、知识面宽广、综合素质上佳的数学人才. 相应地，数学教育的目标，也就不仅在于为学生提供一种专业知识的传授，更重要的在于引导学生掌握一门科学的语言，学到一种理性思维的模式，接受包括演绎、归纳、分析和类比等各项数学素质的训练. 卓有成效的数学训练将为学生充分参与未来世界的竞争做好准备.
       数学的理论是美妙的，引人入胜;数学的方法是精巧的，丰富多彩;但学好数学却必须付出艰辛的劳动. 在教学过程中，我们经常遇到这样的学生:他们能背出一些基本的公式，却做不了略有变化的演算，他们能牢记一些基本的定理，却给不出稍分层次的推理. 有些学生依然留恋早年接受的、为应试而被不恰当地夸大了的 “题型教学”，不理解这种训练手段怎么在大学课堂里销声匿迹了. 这些学生学习数学的方法大多较为稚嫩，他们对数学知识只停留于形式的理解，并未达到实质的掌握. 其实，与大多数其他学科相比，数学能为学生提供更多的学习独立思考的机会. 在任何一门数学课程的学习过程中，起主导作用的并非教师，而是学生. 学生学习数学的过程应当是一个再创造的过程. 学生应当按自己的认识去解释、分析所学的内容，用新的观点去改变原有的理解，从而在个人数学知识的库藏中打上自己特有的烙印. 只有通过深入的思考，将吸收的新知识有机地融入原有知识结构中，用心灵的创造来体验数学，对抽象的对象建立起直观的理解，才能真正地学好数学. 我们希望这套丛书能在方法上为学生学习数学提供有益的借鉴与启迪.
       虽然，学习数学的方法因人而异，但是，数学课程的一些基本环节却是值得共同注意的. 首先，要学好一门数学课程，毋庸置疑应掌握它所包含的最基本的数学思想. 这就是说，既要深入理解有关主要对象的概念和性质，又必须把一系列的定义和定理科学地融合在一起，从整体上把握这个知识体系的发端、推进和提升，融 会贯通地领悟贯穿于课程中的数学思想与精神. 其次，数学思想是通过特定的数学方法来实现的，每门课程所蕴含的数学方法提供了构筑相应理论框架的主要工具，也提供了作出分析、判断、转化、求解等具体策略的依据.从猜想的形成、分析的展开，到计算、推理的实施、提炼、拓展的升华，数学方法在解决问题的过程中处处体现着自身的价值. 再次，每门数学课程都有不少特殊的数学技巧. 它们不仅显示了运算与论证的灵活性，而且是各种成功的数学方法所不可缺少的重要因素.
       一个有相当深度的技巧往往来自丰富的想象和敏锐的观察. 数学技巧的介绍与训练，对学生思维的引发、开拓和深化具有十分重要的意义. 总之，数学思想、数学方法和数学技巧三位一体，共同构成了有血有肉的一门门数学课程. 因此，要学好数学，也就必须在领会思想、掌握方法、熟练技巧上多下工夫.
       正是基于上述认识，在这套丛书中，每一册大体包括概念和性质的简介与提要、主要方法与典型例题的分析与讨论，同时，还配置了一定数量的习题. 希望读者可参照这个内容的三部曲，通过对数学思想、方法和技巧的思考与消化，把解决数学问题的能力提高到一个新的台阶.
       编写这套丛书的作者们都具有丰富的教学经验，他们在编写时还注意到兼顾读者的多种需要:无论是学生在学习相应课程时同步使用，还是在学完一门课程后作总复习的参考，抑或为报考研究生而作考前准备，都将从中获得较大的收获. 我们也愿意借助这套丛书与兄弟院校的同行们作广泛的教学交流.
       复旦大学数学科学学院将这套丛书的编写列入加强本科教学工作的计划之中. 学院的许多教授对如何编好这套丛书提出了一系列中肯的建议，为提高丛书质量创造了有利条件. 复旦大学出版社的范仁梅女士对这套丛书的策划和编辑倾注了大量的心血. 我们对以上诸位在此一并致以诚挚的谢意.
       限于水平，这套丛书的错误与缺陷在所难免，殷切地期望广大读者不吝指正.
       希望通过作者与读者的共同努力，经日后修订，使这套丛书日趋成熟.
      
       复旦大学数学科学学院
       教学指导委员会
      
       前 言
      
       本书是数学分析总结与提高性的读物，对正在学习或已学完该课程的大学生或自学者提供复习、提高、考研的系统材料，对教师或命题者也有一定的参考价值.
       全书以总结的形式讲述数学分析的基本内容，指出一系列常见的多发的错误及纠正的办法，对教材的重点、难点通过例子等手段进行了详细的解释. 全书涉及大量的例题与练习，其中不乏是历届考研试题，对有心深入的读者提供了大量较为深入的习题. 本书对解题方法、技巧和经验进行了较为系统的讲解，这区别于单纯的习题解答. 作者希望这些措施能给读者带来更大的收获.
       本书章节的安排打破了普通教材的次序，主要是依据复习总结方便而定. 因此，读者在使用本书前最好已有一学期左右的数学分析知识，在阅读本书时遇到未教过的部分可先跳过去，以后可返回来再读. 每章第一节是基本内容与基本题，第二节是深入内容与深入题.
       本书内容与练习交错排布，这样可轻松地找到对应的习题，书末附有练习解答. 笔者有个建议，读者可先自己动手做书中的例题，遇到困难时再阅读书中的解法，这样提高较快，体会也较深刻.
       一定要弄懂了基本内容再做习题，同时反过来通过习题又可进一步加深对内容的理解. 本书用了不少笔墨指出难懂或易错的概念，这是笔者几十年教学生涯中对许多学生所犯的错误留下的记录.
       本书提供一系列解题方法和技巧，不仅谈到一题多解，更着重一法多用，即同一个解法尽量扩大其适用范围，譬如，一个等价量求极限的方法怎样用到更广的范围，一个求导求极值的方法，特别是Lagrange方法如何用来求更多的最值等等.
       这对考试或应用显然是十分有利的.
       本书的前身是拙著《高等数学与数学分析——方法导引》（复旦大学出版社，1988年2月）.该书已断版，拙者曾多次收到来自全国各地读者的索取信，最后手头仅留下唯一一本，也就无从复信，对此表示歉意.
       在本书编写过程中，得到童裕孙教授和出版社范仁梅同志的大力支持与帮助，另外邵成舜同志也为本书作了许多文字上的工作，在此一并表示谢意.
      
       编者
       2007年6月
      
       目 录
      
       第1章 导数与微分
      
       §1.1 导数与微分的概念
       1.1.1 导数
       1.1.2 微分
       1.1.3 求导方法
      
       §1.2 n 阶导数与变量代换
       1.2.1 n 阶导数的求法
       1.2.2 偏微分方程的变量代换
      
       第2章 积分的概念与运算
      
       §2.1 定积分与不定积分
       2.1.1 不定积分与定积分
       2.1.2 带参数的常义积分
      
       §2.2 积分计算
       2.2.1 基本求积表
       2.2.2 常用的积分变量代换
       2.2.3 三角函数积分的补充
       2.2.4 分部积分
       2.2.5 运算子方法求积
       2.2.6 对称性在积分中的应用
       2.2.7 特殊代换
       2.2.8 有理函数积分注记
      
       第3章 重积分
      
       §3.1 重积分的概念
       3.1.1 重积分的定义
       3.1.2 广义重积分
       3.1.3 重积分换元法则
       3.1.4 积分代换杂例
      
       §3.2 进一步的例子
       3.2.1 代数定限法
       3.2.2 等值面（线）法
      
       第4章 极限与连续
      
       §4.1 极限的定义、性质与连续性
       4.1.1 数列极限
       4.1.2 无穷大量
       4.1.3 数列极限的性质
       4.1.4 函数极限limx→a f（x）=A
       4.1.5 二重极限
       4.1.6 极限运算法则
       4.1.7 各类极限之间的关系
       4.1.8 连续函数
      
       §4.2 各种类型的极限求法
       4.2.1 递推式法
       4.2.2 等价量法与L Hospital法则
       4.2.3 （R）和形式的极限
       4.2.4 Stolz定理
       4.2.5 积分极限
       4.2.6 Toeplitz定理、Ces ro定理
      
       第5章 导数与积分的应用
      
       §5.1 导数、积分的各种应用
       5.1.1 中值定理
       5.1.2 单调函数
       5.1.3 极值与最值
       5.1.4 凸函数
       5.1.5 曲线的切向与弧长
       5.1.6 梯度、曲面的法向、切平面及面积
       5.1.7 面积、体积公式
      
       §5.2 其他例子与不等式
       5.2.1 Rolle定理的例子
       5.2.2 线性微分不等式
       5.2.3 不等式
      
       第6章 级数、广义积分（重积分）的敛散性
      
       §6.1 级数积分敛散性定义及基本判别法
       6.1.1 敛散性定义
       6.1.2 绝对收敛性定义
       6.1.3 收敛的一个必要条件
       6.1.4 典型范例
       6.1.5 绝对收敛与条件收敛的本质区别
       6.1.6 加法结合律
       6.1.7 定号级数与积分的注记、比较判别法
       6.1.8 级数、积分敛散性互判
       6.1.9 A.D.判别法
      
       §6.2 敛散性判别的进一步讨论
       6.2.1 等价量判别法
       6.2.2 D Alembert判别法与Cauchy判别法
       6.2.3 级数敛散性判别小结
       6.2.4 积分敛散性判别小结
      
       第7章 函数项级数与带参数积分
      
       §7.1 一致收敛判别
       7.1.1 一致收敛的定义
       7.1.2 一致收敛的Cauchy准则
       7.1.3 一致收敛的比较判别法
       7.1.4 一致A.D.判别法
      
       §7.2 函数项级数与带参数积分
       7.2.1 连续性定理
       7.2.2 求积定理（有界闭区间［ a，b ］的情形）
       7.2.3 逐项求导定理
       7.2.4 求积定理（无界区间［ a，+∞）的情形）
      
       第8章 幂级数与Fourier级数
      
       §8.1 幂级数与Fourier级数综述
       8.1.1 幂级数
       8.1.2 Taylor级数
       8.1.3 Fourier级数
      
       §8.2 幂级数展开与级数求和的基本方法
       8.2.1 Taylor展开
       8.2.2 级数求和
      
       第9章 曲线积分与曲面积分
      
       §9.1 曲线（曲面）积分小结
       9.1.1 曲线积分
       9.1.2 曲面积分
       9.1.3 Gauss公式、Stokes公式、Green公式
       9.1.4 Green定理
      
       §9.2 曲线曲面积分的其他处理方法
       9.2.1 添加辅助线、辅助面
       9.2.2 部分恰当情形
       9.2.3 积分元的选择
       9.2.4 奇点的处理
      
       习题解答

书评       
　  

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