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《什么是数学》习题解析
作者：
 李红 主编
定价：
40 元
页数：
253页
ISBN：
978-7-309-15067-4/O.686
字数：
218千字
开本：
32 开
装帧：
平装
出版日期：
2020年8月 　　　　　　
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内容提要

       前言
      
       “什么是数学？”，这是很多人一定思考过的问题.20世纪著名的数学家R·柯朗对此作出了系统、深刻而又生动的阐述.在《什么是数学》一书中，柯朗针对至关重要的数学概念展开循序渐进、深入浅出的讲解分析，构思合理严谨，行文自然流畅，令人称奇；同时，因其富于趣味，一直以来深深地吸引着众多读者.该书的一大写作特点是在论述概念形成过程，以及在各章节小结、衔接处，常采用“问题串”的呈现模式，其中很多练习题、习题等给读者提供了丰富的思考空间，供读者在解题的过程中进一步体会和理解作者的思想方法.但该书只列出了问题，而没有提供答案及解题过程，为更好地帮助读者借由此书领略数学的魅力，我们编写了相应的习题解析.在编写习题解析的过程中，我们更加深刻地领会了《什么是数学》一书的精妙体系和独到讲解，由衷地认为这是一本受众面极广、非同常规教科书的鸿篇巨著.
       如果你是一名小学生，本书第一章第一节、第一章补充等内容可以帮助你获得对自然数全新的理解和认知；
       如果你是一名初中生，本书第二章第一至第三节、第三章等，可以使你更全面、深入地认识学校学习的数系的扩充和几何作图等知识；
       如果你是一名高中生，你会发现，本书前8章（除第五章拓扑学外）的很多内容都能理解（至少部分理解），很多习题都可以尝试着解决.其中导数是高中数学学习的重点内容，本书从极限概念出发，详细推导了很多在高中教材中被一带而过的公式、定理和性质，这可能是你非常渴望的“知其所以然”的助力；
       如果你是一名大学生，本书中的大部分知识可能已经学习过，但逻辑性、严谨性如何？例如微积分这一章节，在完成本章习题的过程中，是否深刻体会到严密的基础理论在数学领域中的普遍意义？同时，对于微积分在众多相关学科的价值是否进行了重新思考？比如天文学、力学、工程学、经济学等.
       如果你是一名研究生，也许你会为本书的巧妙构思而深感震撼！本书由一个个具体的例子出发，由浅入深，对新概念的把握丝丝入扣，不仅讲述了定理是什么，而且详细分析了定理的成因，以及定理的应用.书中十分注重各知识点的衔接，以及不同章节知识点的衔接，从而形成完整的知识体系，为建立数学思维框架提供雏形.与此同时，本书在彰显数学魅力的同时具备可读性强的特点，阅读过后思维将会得到很大程度的提升.
       对于数学专业水准更高的读者，或者从事专业数学研究的学者，第九章及附录中的问题将为你提供了自由而丰富的思考空间.
       如果你是一名数学教师，在帮助学生掌握知识的同时，更要注重学生思维能力的培养，帮助学生初步掌握基本的数学思想方法.通过阅读本书可发现作者将数学知识体系进行了重新整合，具备极强的逻辑性.书中的许多经典问题，以及高屋建瓴的思想也非常值得学习，因此本书给老师提供了一个很好的教学参考.
       在解析书中问题的过程中，我们深刻感受到其中严密的逻辑基础理论，其独特的知识体系体现出了数学文化的丰富与宝贵.这是无法替代的，也是非常有趣的.这离不开作者与译者的功劳，其实在阅读此书的过程中，也能够充分感受到作者与译者对于数学本质的认识与理解，以及他们极高的理论水平.同时，读者也可以感受到本书其实是献给大众的数学读物，为志同道合的读者提供思考的平台，使之成为为数学爱好者提供无限乐趣的源泉.
       需要跟大家说明以下3点：
       一、 在解答习题的过程中，我们坚持了本书的译者张饴慈教授的建议，以书中的理论体系为基础解决问题.书中的某些问题，如第57页的习题、第210页的（7）题等，可以找到本书理论体系之外的更简单的解决方法，但是我们坚持基于本书的理论框架解决问题，因为习题解析是基于《什么是数学》而存在的，而精选这些习题的初衷就是想让读者更加深刻地理解每一个概念和方法的原理、价值、应用、拓展以及与其他概念方法的联系，所以这些问题并不是孤立存在的，它们与书中关于概念方法的论述应被视为一个整体.我们建议读者在针对习题进行解析的过程中尽量遵从《什么是数学》的理论体系，尽量用书中提供的概念方法和逻辑顺序解决问题.仅从理解新知和思维训练的角度来说，研读此书并进行相关训练也是大有裨益的.
       二、 本习题集并未给出全部问题的解析过程，存在极少部分习题未给出解析过程，主要原因分为以下3类：
       1. 针对书中已经直接或间接给出解析过程的习题，在习题集中不再重复赘述，如第99页习题、第555页43题等；
       2. 书中部分较为高深的问题，在经过大量的尝试之后，我们仍未能给出简洁明了并遵从本书理论体系的解析过程，如第218页习题、第555页49题等，这部分习题就留给读者作进一步的思考和探究吧；
       3. 书中针对个别问题的描述较为模糊，我们未予以解答，如第490页习题.
       三、 我们是基于自身对《什么是数学》的理解为习题提供解析的，对于有些问题可能尚未做出完美的解答，我们期待能以此书为缘结交更多的数学爱好者，共同研究，不断完善，促使更多的数学爱好者了解数学，感悟数学的魅力，享受与大师隔空对话、沟通的震撼与愉悦.
       特别感谢数学家柯朗对一代代读者在思维和方法层面的引领，感谢张饴慈教授把这样的世界级巨著介绍给中国的数学爱好者！在阅读和解题的过程中，我们的团队感受到自身数学素养、能力的提高，对于数学本质的理解也在逐步加深，但更为重要的是，我们仿佛走进了大师的灵魂世界并得以与其进行思想上的触碰.这种感觉令我们心潮澎湃、激情满怀！
       参与本书写作的是北京市第二十二中学和长春吉大附中力旺实验中学的两个年轻的教师团队.以李玙、潘宇老师为代表的一批高学历、高素质的青年教师，热爱数学教育，对数学研究饱含热情，他们严谨负责的治学态度和辛勤的付出，充分体现在本书的编写过程中.
      

作者简介

书摘

       目录
      
       第1章 自然数
       §1 整数的计算
       §2 数系的无限性 数学归纳法
      
       第1章补充 数论
       §1 素数
       §2 同余
       §3 毕达哥拉斯数和费马大定理
       §4 欧几里得辗转相除法
      
       第2章 数学中的数系
       §2 不可公度线段 无理数和极限概念
       §4 无限的数学分析
       §5 复数
      
       第2章补充 集合代数
      
       第3章 几何作图 数域的代数
       §1 基本几何作图
       §2 可作图的数和数域
       §3 三个不可解的希腊问题
       §5 用其他工具作图
      
       第4章 射影几何 公理体系 非殴几里得几何
       §3 交比
       §4 平行性和无穷远
       §5 应用
       §7 只用直尺的作图问题
       §8 二次曲线和二次曲面
       附录 高维空间中的几何学
      
       第5章 拓扑学
       §4 曲面的拓朴分类
      
       第6章 函数和极限
       §1 变量和函数
       §2 极限
       §3 连续趋近的极限
       §4 连续性的精确定义
       §5 有关连续函数的两个基本定理
       §6 希尔查诺定理的一些应用
      
       第6章补充 极限和连续的一些例题
       §1 极限的例题
      
       第7章 极大与极小
       §1 初等几何中的问题
       §3 驻点与微分学
       §4 施瓦茨的三角形问题
       §5 施泰纳问题
      
       第8章 微积分
       §1 积分
       §2 导数
       §3 微分法
       §6 指数函数与对数函数
      
       第8章 补充
       §1 原理方面的内容
       §2 数量级
       §3 无穷级数和无穷乘积
      
       附录 补充说明 问题和习题(选做)
       算术和代数
       解析几何
       几何作图
       射影几何和非欧几何
       拓扑学
       函数、极限和连续性
       极大与极小
       微积分
       积分法
      

书评       
　  

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