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微积分讲稿——高维微积分
作者:
谢锡麟 编著
定价:
80 元
页数:
614页
ISBN:
978-7-309-13406-3/O.650
字数:
924千字
开本:
16 开
装帧:
平装
出版日期:
2017年12月       
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内容提要


       微积分作为整个数理知识体系的基石,不仅对后续诸多数理知识体系的研习具有基础性的意义,而且微积分知识体系自身就为认识世界提供了系统的思想与方法.
       《微积分讲稿——高维微积分》主要针对向量值映照建立微分学与积分学,另包括级数. 高维微分学主要包括:点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映照的有限 增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等. 高维积分学主要包括:曲线、曲面上积分的建立、闭方块上Riemann积分的Darboux分析与Lebesgue定理、Fubini定理与体积分换元公式、广义积分与含有参变量的积分、Gauss-Ostrogradskii 公式、Green公式、Stokes公式与场论基础等. 级数主要包括:数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数等.
       本讲稿按知识点划分各份讲稿(对应于章),每一讲稿包括: (1)理论阐述,按知识要素展开,并体现分析的图示化过程;(2)应用事例,归类相关方法使其可适用于一类问题,而非仅是例题的罗列;(3)拓广深化,致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系,为专题性研究以及理论联系实际提供事例. 借此,本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能. 讲稿撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法;为便于阅读,在写作上注重演绎推导过程完整,应用事例丰富.
       本书可作为力学、物理学、数学、航空宇航科学与技术、材料科学、计算机科学等相关专业的本科生与研究生的微积分教程,亦可作为相关科学与技术研究的参考.
      

作者简介

书摘


       目录
      
       前言
      
       符号表
      
       第一部分 高维微分学
      
       第一章 向量值映照的背景
       § 1.1知识要素
       § 1.1.1向量值映照
       § 1.1.2范数与距离
       § 1.1.3 Euclid空间中的点列
       § 1.2应用事例
       § 1.2.1极坐标系
       § 1.2.2柱坐标系
       § 1.2.3球坐标系
       § 1.2.4椭圆柱坐标系
       § 1.2.5双极柱坐标系
       § 1.3拓广深化
       § 1.4建立路径
      
       第二章 向量值映照的极限
       § 2.1知识要素
       § 2.1.1向量值映照极限的定义
       § 2.1.2向量值映照极限的分析性质
       § 2.1.3向量值映照极限的计算方法
       § 2.1.4 Euclid空间中点集拓扑基础
       § 2.2应用事例
       § 2.2.1基于路径分析
       § 2.2.2基于极坐标分析
       § 2.2.3累次极限
       § 2.3建立路径
      
       第三章 向量值映照的可微性与导数的计算方法
       § 3.1知识要素
       § 3.1.1向量值映照的可微性定义
       § 3.1.2方向导数
       § 3.1.3高阶偏导数
       § 3.1.4导数计算的充分性方法
       § 3.1.5导数计算的极限分析方法
       § 3.2应用事例
       § 3.2.1导数计算的充分性方法
       § 3.2.2导数计算的极限分析方法
       § 3.2.3矩阵形式的链式求导
       § 3.3拓广深化
       § 3.3.1单参数向量值映照的变化率
       § 3.3.2单参数单位正交基的变化率
       § 3.3.3速度与加速度等合成原理
       § 3.3.4角速度与角速度合成原理
       § 3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示
       § 3.4建立路径
      
       第四章 基于直线单参数化的相关分析结论
       § 4.1知识要素
       § 4.1.1直线单参数化
       § 4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件
       § 4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件
       § 4.2建立路径
      
       第五章 无限小分析方法
       § 5.1知识要素
       § 5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式
       § 5.1.2多项式逼近的唯一性
       § 5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法
       § 5.1.4自由最值问题
       § 5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义
       § 5.2应用事例
       § 5.2.1自由最值问题
       § 5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近
       § 5.3建立路径
      
       第六章 有限增量公式或估计
       § 6.1知识要素
       § 6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式
       § 6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计
       § 6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计
       § 6.2建立路径
      
       第七章 曲线向量值映照
       § 7.1知识要素
       § 7.1.1曲线的切向量与切线
       § 7.1.2曲线的局部标架与其运动方程
       § 7.1.3曲线的局部参数化
       § 7.2应用事例
       § 7.3建立路径
      
       第八章 曲面向量值映照
       § 8.1知识要素
       § 8.1.1曲面的切平面与法向量
       § 8.1.2曲面的基本形式
       § 8.1.3曲面的 Gauss曲率与平均曲率
       § 8.1.4曲面的局部标架与其运动方程
       § 8.1.5曲面的法截线与主法截线
       § 8.1.6曲面的局部参数化
       § 8.2应用事例
       § 8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
       § 8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
       § 8.3建立路径
      
       第九章 隐映照定理
       § 9.1知识要素
       § 9.1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理
       § 9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理
       § 9.1.3隐函数导数的计算方法
       § 9.2应用事例
       § 9.2.1隐函数的导数计算
       § 9.2.2隐映照的导数计算
       § 9.3拓广深化
       § 9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性
       § 9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性
       § 9.4建立路径
      
       第十章 隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表示)
       § 10.1知识要素
       § 10.1.1隐映照定理
       § 10.1.2曲线的隐式表示
       § 10.1.3曲面的隐式表示
       § 10.2应用事例
       § 10.2.1曲线的隐式表示
       § 10.2.2曲面的隐式表示
       § 10.3建立路径
      
       第十一章 隐映照定理的应用(约束上的最值问题)
       § 11.1知识要素
       § 11.1.1隐映照定理
       § 11.1.2约束上最值问题
       § 11.1.3 Lagrange乘子法
       § 11.2应用事例
       § 11.2.1约束上最值问题
       § 11.2.2利用约束最值获得不等式
       § 11.3建立路径
      
       第十二章 逆映照定理与微分同胚
       § 12.1知识要素
       § 12.1.1由隐映照定理获得逆映照定理
       § 12.1.2由压缩映照定理获得逆映照定理
       § 12.1.3微分同胚
       § 12.2拓广深化
       § 12.2.1秩定理
       § 12.2.2秩定理的应用——函数相关性与无关性
       § 12.2.3 Morse定理
       § 12.2.4 Morse定理的应用——平面曲线奇点的类别
       § 12.2.5曲面的流形观点解释
       § 12.3建立路径
      
       第十三章 隐映照定理与逆映照定理的综合应用
       § 13.1知识要素
       § 13.1.1变换方程
       § 13.1.2 Frobenius定理
       § 13.1.3基于曲面的半正交系
       § 13.2应用事例
       § 13.2.1变换方程——仅有自变量变换
       § 13.2.2变换方程——既有自变量变换又有因变量变换
       § 13.2.3 Frobenius定理——直接推导Pfaff方程
       § 13.3建立路径
      
       第二部分 高维积分学
      
       第十四章 积分应用理论
       § 14.1知识要素
       § 14.1.1曲线上的积分
       § 14.1.2曲面上的积分
       § 14.2建立路径
      
       第十五章 积分分析理论(Darboux和分析)
       § 15.1知识要素
       § 15.1.1闭方块上有界函数的Darboux和分析
       § 15.1.2闭方块上Riemann可积的等价性叙述
       § 15.1.3闭方块上Riemann可积的函数
       § 15.2应用事例
       § 15.3建立路径
      
       第十六章 积分分析理论(Lebesgue定理)
       § 16.1知识要素
       § 16.1.1Lebesgue零测集
       § 16.1.2函数在某一点的振幅
       § 16.1.3 Cantor定理
       § 16.1.4 Lebesgue定理/判别法
       § 16.1.5允许集上Riemann积分的定义
       § 16.2应用事例
       § 16.3建立路径
      
       第十七章 计算理论(Fubini定理)
       § 17.1知识要素
       § 17.1.1 Fubini定理
       § 17.1.2典型积分域上的积分
       § 17.2应用事例
       § 17.3建立路径
      
       第十八章 计算理论(体积分换元公式)
       § 18.1知识要素
       § 18.1.1微分同胚映照下的相关结论
       § 18.1.2简单微分同胚的相关结论
       § 18.1.3体积分换元公式
       § 18.2应用事例
       § 18.2.1基本理论
       § 18.2.2平面极坐标系变换
       § 18.2.3柱坐标系变换
       § 18.2.4球坐标系变换
       § 18.2.5正交变换
       § 18.2.6一般区域变换
       § 18.2.7广义球坐标系变换
       § 18.2.8角区与带形区域变换
       § 18.3建立路径
      
       第十九章 广义积分与含参变量的积分
       § 19.1知识要素
       § 19.1.1广义积分的定义
       § 19.1.2判定广义积分敛散性的计算方法
       § 19.1.3含参变量的积分
       § 19.2拓广深化
       § 19.2.1计算一阶变分
       § 19.2.2计算二阶变分
       § 19.3应用事例
       § 19.3.1计算广义积分
       § 19.3.2利用含参变量的积分计算相关积分
       § 19.3.3计算变分
       § 19.4建立路径
      
       第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
       § 20.1知识要素
       § 20.1.1延拓形式的 Newton-Leibniz公式
       § 20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型
       § 20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的应用形式
       § 20.2应用事例
       § 20.3建立路径
      
       第二十一章 Green公式
       § 21.1知识要素
       § 21.1.1平面区域边界的定向
       § 21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式获得Green公式
       § 21.2应用事例
       § 21.3建立路径
      
       第二十二章 Stokes公式
       § 22.1知识要素
       § 22.1.1简单正则曲面及其定向
       § 22.1.2简单正则曲面的边界及其定向
       § 22.1.3 Stokes公式
       § 22.2应用事例
       § 22.3建立路径
      
       第二十三章 场论基础
       § 23.1知识要素
       § 23.1.1微分关系式
       § 23.1.2积分关系式
       § 23.1.3数学物理中的有关积分
       § 23.1.4无旋向量场的势函数
       § 23.2应用事例
       § 23.2.1基于典则基下的展开推导微分恒等式
       § 23.2.2基于体积局部基下的展开推导体积上微分恒等式
       § 23.2.3基于曲面局部基下的展开推导曲面上微分恒等式
       § 23.2.4单位正交基下微分算子的表示
       § 23.2.5无旋向量场的势函数
       § 23.3建立路径
      
       第三部分 级数
      
       第二十四章 正项数项级数
       § 24.1知识要素
       § 24.1.1比较的思想
       § 24.1.2相关结论
       § 24.1.3上下极限的定义与其基本性质
       § 24.2应用事例
       § 24.2.1直接展开
       § 24.2.2比值展开
       § 24.2.3根式形式
       § 24.3建立路径
      
       第二十五章 一般数项级数
       § 25.1知识要素
       § 25.1.1数项级数收敛的 Cauchy收敛原理
       § 25.1.2 Abel和式与Abel估计
       § 25.1.3数项级数的Abel-Dirichlet判别法
       § 25.1.4数项级数的基本分析性质
       § 25.2应用事例
       § 25.2.1交叉级数
       § 25.2.2直接展开
       § 25.2.3比值展开
       § 25.2.4一般方法
       § 25.3建立路径
      
       第二十六章 函数项级数
       § 26.1知识要素
       § 26.1.1点点收敛与一致收敛的概念
       § 26.1.2一致收敛的Cauchy收敛原理
       § 26.1.3基于一致收敛的分析性质
       § 26.1.4研究一致收敛性的若干方法
       § 26.2应用事例
       § 26.2.1判定函数序列的一致收敛性
       § 26.2.2判定函数项级数的一致收敛性
       § 26.3拓广深化
       § 26.3.1基于Picared迭代研究动力系统的解的存在性
       § 26.3.2基于Picared迭代研究动力系统的解对初值的可微依赖性
       § 26.4建立路径
      
       第二十七章 幂级数
       § 27.1知识要素
       § 27.1.1幂级数的收敛半径及收敛域
       § 27.1.2幂级数的分析性质
       § 27.1.3获得复杂函数的幂级数表示
       § 27.2应用事例
       § 27.2.1求幂级数收敛半径及收敛域
       § 27.2.2获得幂级数的和函数
       § 27.2.3获得复杂函数的幂级数展开
       § 27.2.4利用幂级数求级数的和
       § 27.3建立路径
      
       第二十八章 Fourier级数
       § 28.1知识要素
       § 28.1.1Fourier级数的点收敛观点
       § 28.1.2Fourier级数的内积观点
       § 28.2应用事例
       § 28.3建立路径
      
       名词索引
      
       插图目录
      
       参考文献
      

书评       

   

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